On the Size of Some Trees Embedded in R

This paper extends the result of Steele [6, 5] on the worst-case length of the Euclidean minimum spanning tree EMST and the Euclidean minimum insertion tree EMIT of a set of n points S ⊂ R. More precisely, we show that, if the weight w of an edge e is its Euclidean length to the power of α, the following quantities ∑ e∈EMST w(e) and ∑ e∈EMIT w(e) are both worst-case O(n 1−α/d), where d is the dimension and α, 0 < α < d, is the weight. Also, we analyze and compare the value of ∑ e∈T w(e) for some trees T embedded in R which are of interest in (but not limited to) the point location problem [2]. Key-words: Computational Geometry, Geometric Graphs This work is partially supported by ANR Project Triangles and Région PACA. in ria -0 04 48 33 5, v er si on 1 18 J an 2 01 0 Sûr la Taille de Quelques Arbres Plongées dans R Résumé : Ce papier étend le résultat de Steele [6, 5] sûr la taille au pire des cas de la plus petite arbre de couverture minimal Euclidienne et l’arbre d’insertion minimal d’un ensemble de n points S ⊂ R. Plus précisément, nous démontrons que si le poids w d’une arête e est sa longueur Euclidienne à la puissance α, les quantités suivantes ∑ e∈EMST w(E) et ∑ e∈EMIT w(E) valent au pire des cas O(n1−α/d), où d est la dimension et α, 0 < α < d, est le poid. Nous déterminons et comparons aussi la valeur de ∑ e∈T w(E) pour des arbres T plongées dans R, qui sont d’intèrêt au problème de la localisation des points [2]. Mots-clés : Géométrie Algorithmique, Graphes Géométriques in ria -0 04 48 33 5, v er si on 1 18 J an 2 01 0 On the Size of Some Trees Embedded in R 3